数学公式 | YL's Blog

数缺形时少直观，形缺数时难入微。

泰勒展开式：

当 $x\to 0$ 时：

$e^x=1+x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+...=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$ $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3...=\sum_{n=0}^\infty x^n$ $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{(n-1)} \frac{x^n}{n}$ $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$ $arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ $cosx=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2!} x^2+...\frac{α(α-1)(α-n+1)}{n!}...$ $tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

常用等价无穷小：

当 $x\to 0$ 时：

$sinx\sim x$ $tanx\sim x$ $arcsinx\sim x$ $ln(1+x)\sim x$ $e^x-1\sim x$ $1-cosx\sim \frac{1}{2} x^2$ $1-(cosx)^\alpha \sim \frac{\alpha}{2} x^2$ $(1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x$ $log_a (1+x)\sim \frac{x}{lna}$ $a^x -1 \sim x lna$ $e^x-1-x \sim \frac{1}{2} x^2$

倍角公式：

$sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$ $cos2\alpha=(cos\alpha)^2-(sin\alpha)^2=2(cos\alpha)^2-1=1-2(sin\alpha)^2$ $secx=\frac{1}{cosx}$ $cscx=\frac{1}{sinx}$ $1+(tanx)^2=(secx)^2$